在实际应用中DQN会引起高估，进而影响动作的正确选择。本文介绍的高估问题解决办法为：Target Network & Double DQN.
11. Target Network & Double DQN
11.1 Bootstraps \\ 自举
自举通俗来说就是自己把自己举起来，这在现实物理学中是很荒唐的，但在统计学和强化学习中是可以做到自举的。
在强化学习中，自举 的意思是用一个估算去更新同类的估算，即自己把自己举起来。
之前我们提到：
- 用 transition \\((s_t,a_t,r_t,s_{t+1})\\) 更新一次 w。
- TD target: \\(y_t = {r_t} + \\gamma \\cdot \\mathop{max}\\limits_{a} Q({s_{t+1}},{a};w)\\)
- TD error: \\(\\delta_t = Q({s_t},{a_t};w) - y_t\\)
- 梯度下降，更新参数: \\(w \\leftarrow w -\\alpha \\cdot \\delta_t \\cdot \\frac{\\partial Q({s_t},{a_t};w)}{\\partial w}\\)
我们注意一下TD target，\\(y_t\\) 中含有部分真实 也含有 部分DQN 在 t+1 时刻的估计。而梯度下降中的 \\(\\delta_t\\) 中含有 \\(y_t\\) 。
这说明我们为了更新 t 时刻的估计，而用到了 t+1 时刻的预测。
这就是一个估计值更新其本身，也就是自己把自己举起来，bootstraping.
11.2 Overestimation
用TD算法训练DQN，会导致DQN往往高估真实的动作价值；下面来介绍一下 高估问题产生的原因。
- 计算TD target 使用了最大化 max，使得 TD target 比真实的动作价值大。
- Bootstrapping，用自己的估计更新自己，高估引发更离谱的高估；
a. 最大化
举个例子来说明为什么使用最大化会产生高估：
假设我们观测到了任意 n 个实数 \\(x_1,x_2,...,x_n\\)；向其中加入均值是 0 的噪声，得到 \\(Q_1,Q_2,...,Q_n\\)；
加入噪声这件事会造成：
- 均值不变，即：\\(E[mean_i(Q_i)]=mean_i(x_i)\\)；
- 最大值的均值更大，即：\\(E[max_i(Q_i)]\\geq max_i(x_i)\\)；
- 最小值的均值更小，即：\\(E[min_i(Q_i)]\\leq min_i(x_i)\\)
这些结论可以自己带入数字验证，都有相关的定理支撑。
简单的解释是，加入噪声从信号图的角度来讲，让上下限更宽，所以有以上结论。
下面来看看这个原理投射在TD 算法上的：
真实的动作价值为（虽然我们不知道，但是其存在）：\\(x(a_1),...,x(a_n)\\)
我们用DQN估算真实的动作价值，噪声就是由 DQN 产生的：\\(Q(s,a_1;w),...,Q(s,a_n;w)\\)；
如果 DQN 对于真实价值的估计是 无偏的，那么 误差 就相当于上文的均值为0的 噪声 ；
\\(\\mathop{mean}\\limits_{a} (x(a)) = \\mathop{mean}\\limits_{a} (Q(s,a;w))\\)
而根据上面的举例，\\(\\mathop{max} \\limits_{a} Q(s,a;w)\\geq \\mathop{max} \\limits_{a}(x(a))\\)；意思就是，DQN的预测q: \\(\\mathop{max} \\limits_{a} Q(s,a;w)\\)，是对真实情况的高估。
那么，根据 \\(y_t = {r_t} + \\gamma \\cdot q_{t+1}\\)，\\(y_t\\) 较真实情况也高估了。
TD 算法本身的思想就是，让预测接近 TD target，更新之后的 DQN 预测也会高估。
b. 自举
TD target 用到了 t+1 时刻的估计：\\(q_{t+1}=\\mathop{max}\\limits_{a} Q^*({s_{t+1}},{a};w)\\)；
而使用 TD target 在 t+1 时刻的估计 \\(q_{t+1}\\) 来更新 t 时刻的估计，用DQN 来更新 DQN 自己，这样 bootstrapping 会导致高估更严重：
向高估方向连续进行了两次运算，
\\(y_t = {r_t} + \\gamma \\cdot \\mathop{max}\\limits_{a} Q({s_{t+1}},{a};w)\\)，分别是：
- Q 处就是 DQN 对 t+1 时刻的高估
- 在计算 \\(y_t\\) 的时候，最大化又导致了高估
- 两次高估是同向的；
- 通过TD 算法将这种高估传播回 DQN，DQN的高估更严重了
- 循环往复，正反馈
c. 高估为什么有害
回顾 DQN / 价值学习 的基本思想：在当前状态 \\(s_t\\) 的情况下，通过DQN输出各个动作的分数，从中挑选分数相对最高的动作执行。
如果高估这个现象对于所有动作是均匀的，那么不影响本该被选中的动作被选中。所以高估本身没有问题，有害的是不均匀的高估。
实际上 DQN 的高估就是非均匀的：
- 使用一个transition \\((s_t,a_t,r_t,s_{t+1})\\) 去更新 w；
- TD target \\(y_t\\)现在高估了真实情况
- TD 算法鼓励 QDN 的预测接近 \\(y_t\\)，
- 那么更新参数后，TD 算法把 QDN 对于Q-star的估值推高
- 所以，重点来了，当某组 transition（包含状态和动作 s&a 的二元组） 每被用来更新一次DQN，就会让DQN倾向于高估s和a的价值；
- 而这个二元组在 Reply Buffer 中的频率不均匀，这种不均匀导致高估的不均匀。
11.3 解决方案
介绍高估问题的两种解决方案：
- 第一种是避免 Bootstrapping ，即不要用 DQN 自己的 TD target 跟新DQN，而是使用另一个神经网络 Target Network。
- 另一种思路是用Double DQN，用来缓解最大化造成的高估；虽然也使用 Target Network，但用法有所不同。
a. Target Network
这里我们引入 另一个神经网络 Target Network \\(Q(s,a,w^-)\\)，TN 的结构与 DQN 一样，但是参数 \\(w\\) 不同。另外两者的用途也不同，DQN用来收集 transitions，控制 agent 运动，而 TN 只用来 计算 TD target。
将 TN 用在 TD 算法上：
用 Target Network 更新 TD Target：\\(y_t = r_t + \\gamma\\cdot \\ \\mathop{max}\\limits_{a} Q(s_{t+1},a;w^-)\\)
DQN 计算TD error：\\(\\delta_t = Q({s_t},{a_t};w) - y_t\\)
梯度下降更新参数： \\(w \\leftarrow w -\\alpha \\cdot \\delta_t \\cdot \\frac{\\partial Q({s_t},{a_t};w)}{\\partial w}\\)
注意这里更新的是 DQN 的 w，没有更新 TN 的 \\(w^-\\)
\\(w^-\\) 每隔一段时间更新，更新方式有很多种：
- 直接: \\(w^-\\leftarrow w\\)
- 加权平均：\\(w^-\\leftarrow \\tau\\cdot w + (1-\\tau)\\cdot w^-\\)
由于 TN 还是需要 DQN 的参数，不是完全独立，所以不能完全避免Bootstrapping.
b. Double DQN
原始算法：
- 计算TD target 的第一步是选择：\\(a^*=\\mathop{argmax}\\limits_{a} Q(s_{t+1},a;w)\\)，这一步是使用 DQN自己；
- 计算 \\(y_t = {r_t} + \\gamma \\cdot \\mathop{max}\\limits_{a} Q({s_{t+1}},{a^*};w)\\)
- 这种算法最差
使用 TN：
- 计算TD target 的第一步是选择：\\(a^*=\\mathop{argmax}\\limits_{a} Q(s_{t+1},a;w^-)\\)，这一步是使用 TN；
- 计算 \\(y_t = {r_t} + \\gamma \\cdot Q({s_{t+1}},{a^*};w^-)\\)
- 较于第一种较好，但仍存在高估；
Double DQN：
- 选择：\\(a^*=\\mathop{argmax}\\limits_{a} Q(s_{t+1},a;w)\\)，注意这一步是 Double DQN；
- 计算：\\(y_t = {r_t} + \\gamma \\cdot Q({s_{t+1}},{a^*};w^-)\\)；这一步使用 TN；
- 可见改动非常小，但是改进效果显著。（没有消除高估）
为什么呢？
\\(Q(s_{t+1},a^*;w^-)\\leq \\mathop{max}\\limits_{a}Q(s_{t+1},a;w^-)\\)
- 因为右边是求了最大化，所以右边一定比左边大；
- 而左边是 Double DQN作出的估计，右边是 TN 算出来的；
- 这个式子说明： Double DQN 作出的估计更小，所以缓解了 高估问题；
x. 参考教程
- 视频课程：深度强化学习（全）_哔哩哔哩_bilibili
- 视频原地址：https://www.***.com/user/wsszju
- 课件地址：https://github.com/wangshusen/DeepLearning